2020年 大学院理工学研究科 シラバス - 精密機械工学専攻
設置情報
科目名 | 応用数学Ⅰ | ||
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設置学科 | 精密機械工学専攻 | 学年 | 1年 |
担当者 | 山本 修一 | 履修期 | 前期 |
単位 | 2 | 曜日時限 | 金曜3 |
校舎 | 船橋 | 時間割CD | G53A |
クラス |
概要
学修到達目標 | データ解析の数学的基礎(最小2乗法,回帰直線,深層学習,多項式近似)とフーリエ解析(フーリエ級数,フーリエ変換)の初歩を学ぶ。特に,その内容を数式処理ソフト マスマティカ を活用して知識をイメージ化しながら学ぶことで数学の即効的な応用力を身につける。 |
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授業形態及び 授業方法 |
配布プリントを使用して,マスマティカ と板書を併用しながら講義を行う。 |
準備学習(予習・ 復習等)の内容・ 受講のための 予備知識 |
準備学習:授業計画の第2回以降の授業では使用するプリントを一つ前の授業で配布するので、そのプリントの内容を予習することを授業の予習(120分)とする。授業内容によっては学部の1年で使用した微分積分学,線形代数学の教科書にある内容や先の授業の内容が予習に含まれることもあるので授業計画の中ではそれを予習事項として特記する。 授業の復習(時間の記載がないときは120分)は毎回の授業計画の中に記載される。復習では主に授業内容をより深めるための問題が提示される。予習と復習の時間は合計240分で、復習の記載がない場合は予習だけで240分とする。 予備知識:微分積分学,線形代数学を履修していることが望ましい。 |
授業計画
第1回 | 単位取得に係わる説明(準備学習とレポート課題について)および授業の特徴とポイントを具体例で示し,この授業における応用数学Ⅰの学び方を提示する。 復習:これから学ぶ内容のキーワード(例えば,回帰直線,勾配降下法,深層学習,ニュートンの補間法,フーリエ係数,フーリエ級数,フーリエ変換など)について,他の授業との関連性を調べたり,参考書やネット検索などによってどんな内容かを調べること(240分) |
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第2回 | 最小2乗法と回帰直線(離散的なデータの回帰直線ついて学ぶ。特に,偏導関数の値をゼロとする手法だけでなくビッグデータで応用される勾配降下法についても学ぶ) 予習事項:偏微分(微分積分学の教科書224ページ~227ページ),数列(微分積分学の教科書180ページ~185ページ),行列の積と逆行列(線形代数学の教科書53ページ~59ページおよび101ページ~105ページ) 復習:回帰直線を計算(配布プリント) |
第3回 | 深層学習の考え方(ニューラルネットワークを用いた教師データの最適化について学ぶ) 予習事項:合成関数の偏微分法(微分積分学の教科書233ページ~237ページ)、勾配降下法(第2回の授業プリント) |
第4回 | 深層学習の実際(誤差逆伝播法を用いたニューラルネットワークの重みやバイアスによる偏導関数の計算法とコスト関数の最小化について学ぶ) 復習:重みやバイアスによる偏導関数の計算(プリント配布) |
第5回 | データから関数を対応させる考え方(ニュートンの補間法と深層学習を用いた関数の近似について学ぶ) 復習:ニュートンの補間法を用いた多項式関数の計算(プリント配布) |
第6回 | 三角関数の性質と役割(三角関数の和や積,微分法のイメージ,三角関数の積の定積分の性質を動画を通して学びながら,三角関数の公式や意義について学ぶ) 予習事項:部分積分法(微分積分学の教科書233ページ~237ページ),異常積分(微分積分学の教科書164ページ~167ページ) 復習:三角関数の積の定積分の計算(プリント配布) |
第7回 | 三角多項式とフーリエ係数(関数をある区間で,与えられた有限個の三角関数の和で近似する方法を学ぶ) 復習:三角多項式の計算(プリント配布) |
第8回 | フーリエ級数展開(周期 2π の周期関数に対して,そのフーリエ係数を求めることで三角関数の和として表現するできること)の可能性を マスマティカを活用して視覚的に実感する。 復習:関数のフーリエ級数展開の計算(プリント配布) |
第9回 | フーリエ級数展開とその複素表示および一般的なフーリエ級数展開について学ぶ。 復習:関数の複素表示のフーリエ級数展開の計算(プリント配布) |
第10回 | フーリエ級数展開の実践的理解(予習してきた具体例を通して無限和が一様収束する場合とそうでない場合について マスマティカ を活用して視覚的に深める) 予習事項:関数のフーリエ級数展開の計算例(第8、9回の復習プリント) |
第11回 | フーリエの積分公式(周期関数でない場合,三角関数を用いた無限積分で表現できるときがあることを学び,フーリエ余弦(正弦)変換およびフーリエの積分公式について学ぶ) 予習事項:定積分の定義(微分積分学の教科書146ページ~149ページ)および無限積分(微分積分学の教科書167ページ~168ページ) |
第12回 | フーリエ変換(フーリエの積分公式の複素表示とフーリエ逆変換について学ぶ) 予習事項:三角関数の加法公式,オイラーの式(第9回の授業プリント) 復習:関数の複素表示のフーリエ変換の計算(プリント配布) |
第13回 | フーリエの余弦変換,正弦変換およびフーリエ変換の計算例。特に偶関数の場合に,フーリエ余弦変換によって表現される仕組みを,マスマティカ を通して具体例で視覚的に観察し,フーリエ変換を深く理解する。 復習:関数のフーリエ正弦変換の計算(プリント配布) |
第14回 | デジタルからアナログへ(フーリエ離散変換と、その応用としてデジタルデータを三角関数によって補間できることを学ぶ) レポート課題の内容を発表する。 復習:レポート課題に取り組む(240分) |
第15回 | レポート(課題)の回収およびレポート課題に対する解答を マスマティカ を用いた動画と併用して示す。発展として,フーリエ変換の性質と積分方程式への応用について言及する。 予習:レポート課題に取り組む(240分) |
その他
教科書 |
特に使用しない
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参考資料コメント 及び 資料(技術論文等) |
谷川明夫 『フーリエ解析入門』 共立出版 2007年 第初版
E.クライツィヒ 『フーリエ解析と偏微分方程式』 技術者のための高等数学3 培風館 2007年 第8版
上の参考資料については,さらに深く理解するために利用してほしい。
なお,この授業の予習で学部1年で使用した教科書
微分積分(矢野・石原編,裳華房),新線形代数(大日本図書)
を利用する。
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成績評価の方法 及び基準 |
レポート課題(提出することが単位取得のための必要条件)で 70 %,平常点(予習・復習など,授業に対する取り組み状況)を 30 % の割合で,GPA制度の基準に従って合否および優劣を総合的に評価する。 |
質問への対応 | 授業中に理解できないところがあった場合,質問内容を整理し授業終了後に質問すること。 |
研究室又は 連絡先 |
メールアドレス:syama@penta.ge.cst.nihon-u.ac.jp |
オフィスアワー |
金曜 船橋 14:50 ~ 15:20 14 号館 1 階講師室
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学生への メッセージ |
レポート課題の内容は第14回目の授業で発表する。第15回目の授業の最初にレポート(課題)を提出すること。 |