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ディオファントス幾何

方程式の整数解や有理数解は，古代から調べられています．最も有名なのが「フェルマーの最終定理」で，「nが3以上なら，x^n+y^n=z^nを満たす自然数x, y, zは無い」と主張します．ディオファントス幾何では，「方程式に整数解や有理数解が無限個あるのかどうか」などの問いを，幾何学的特徴から分析していきます．暗号にも使われている楕円曲線も，この分野です．

ボエタ予想

ディオファントス幾何の大予想の一つで，「有理数解同士は，特段の幾何学的事情がない限り反発する」という哲学を数式化したものが「ボエタ予想」です．a+b=cを満たす整数の素因数分解について言及する「abc予想」も，ボエタ予想に含まれています．ボエタ予想のうち，最大公約数の不等式と関連があるものを中心に研究しています．

数論的力学系

関数fを繰り返し合成し，f(a), f(f(a), f(f(f(a))), ．．．と点aの動きを追っていくものを軌道といい，軌道を分析する分野を力学系といいます．特に，軌道に整数が現れる回数や，分母や分子の素因数分解に登場する素数の分布などを調べる，「数論的力学系」と呼ばれる分野の研究をしています．